Question

求证：(1+

1

n

)n+(1+

2

n

)n+…+(1+

n

n

)n＜

e-en+1

1-e

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：观察所证不等式的右端是等比数列{eⁿ}的前n项和，故需要证明[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*），于是可构造函数g（x）=lnx-x+1，利用导数法易知g（x）=lnx-x+1在[1，+∞）上单调递减，可得lnx＜x-1（x＞1）．再令x=1+

k

n

（k∈N^*），变形可证得[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*），从而可证得结论成立．

解答： 解：令g（x）=lnx-x+1，
当x≥1时，g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

≤0，
∴g（x）=lnx-x+1在[1，+∞）上单调递减，
∴当x≥1时，g（x）_max=g（1）=0，
∴g（x）=lnx-x+1≤g（1）=0，
当x＞1时，g（x）=lnx-x+1＜g（1）=0
即lnx＜x-1（x＞1）．
令x=1+

k

n

（k∈N^*），则ln（1+

k

n

）＜

k

n

，即nln（1+

k

n

）＜k，
∴ln[（1+

k

n

）]ⁿ＜k，
∴[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*），
∴(1+

1

n

)n+(1+

2

n

)n+…+(1+

n

n

)n＜e¹+e²+…+eⁿ=

e-en+1

1-e

（证毕）．

点评：本题考查不等式的证明，观察出所证不等式的右端是等比数列{eⁿ}的前n项和，从而分析出需要证明[（1+

k

n

）]ⁿ＜e^k（k∈N^*）是关键，考查构造函数思想，属于难题．