Question

解关于x的不等式（x+1）[（a-1）x-1]＞0，a∈R．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：分当a-1=0时，当a-1＞0时，当a-1＜0时，三种情况将不等式（x+1）[（a-1）x-1]＞0进行等价变形，分别解答后，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：原不等式?(a-1)(x+1)[x-

1

a-1

]＞0
（1）当a-1=0时，即a=1时：原不等式?-（x+1）＞0⇒x＜-1
（2）当a-1＞0时，原不等式?(a-1)(x+1)[x-

1

a-1

]＞0
即a＞1时?(x+1)[x-

1

a-1

]＞0，x1=-1，x2=

1

a-1

显然：x₂＞0＞x₁所以x1＜-1或x＞

1

a-1

（3）当a-1＜0时，即a＜1原不等式原不等式?(a-1)(x+1)[x-

1

a-1

]＞0?(x+1)[x-

1

a-1

]＜0
①当

1

a-1

=-1即a=0时（x+1）²＜0⇒x∈ϕ
②当

1

a-1

＜-1即0＜a＜1时⇒

1

a-1

＜x＜-1
③当

1

a-1

＞-1即a＜0时⇒-1＜x＜

1

a-1

综上所述：当a＜0时⇒{x|-1＜x＜

1

a-1

}
当：a=0时⇒x∈ϕ
当0＜a＜1时⇒{x|

1

a-1

＜x＜-1}
当a=1时⇒{x|x＜-1}
当a＞1时⇒{x|x1＜-1或x＞

1

a-1

}

点评：本题考查的知识点是类二次不等式的解法，解答时一定要注意对a-1符号的讨论，难度不大，属于基础题．