题目内容

已知函数f（x）=|x-3|+|x-a|，g（x）=x3+1，若函数y=f（g（x））的图象为轴对称图形，则实数a的值可能是
 
．
考点：函数的图象
专题：计算题,作图题,函数的性质及应用
分析：由题意，化简y=f（g（x））=|x3+1-3|+|x3+1-a|=|x3-2|+|x3+1-a|，讨论a的取值以去绝对值号，从而确定对称轴的可能取值，再取点检验，最后再判断即可．
解答： 解：y=f（g（x））=|x3+1-3|+|x3+1-a|
=|x3-2|+|x3+1-a|，
当1-a=-2，即a=3时，
y=2|x3-2|不是轴对称图形，
当1-a＜-2；即a＞3时，
由y=
1+a-2x3，x＜
32
a-3，
32
≤x≤
3a-1
2x3-1-a，x＞
3a-1
；
若存在对称轴，则对称轴应为x=
32
+
3a-1
2
；
而令y=1+a解得，x=0或x=
3a+1
；
则
3a+1
=
32
+
3a-1
；
即
3a+1
-
3a-1
=
32
；
∵a＞3；
∴
3a+1
-
3a-1
＜
32
；
故不成立；
当1-a＞-2；即a＜3时，
由y=
1+a-2x3，x＜
3a-1
3-a，
3a-1
≤x≤
32
2x3-1-a，x＞
32
；
若存在对称轴，则对称轴应为x=
32
+
3a-1
2
；
而令y=1+a解得，x=0或x=
3a+1
；
则
3a+1
=
32
+
3a-1
；
即
3a+1
-
3a-1
=
32
；
∵a＜3；
∴当a=1或a=-1时，等号成立；
经检验，当a=1时，y=f（g（x））=|x3-2|+|x3|不对称，
当a=-1时，y=f（g（x））=|x3-2|+|x3+2|对称；


故答案为：-1．
点评：本题考查了图象的对称性的应用，考查了学生分类讨论的应用及作图能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=
|2x2-4x|，x∈[0，3]
-x，x∈[-1，0)
．
（1）试作函数f（x）的图象；
（2）若关于x的方程f（x）=a+
1
a
，在[-1，3]上有解，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=a+
1
a
，在[-1，3]上恰有两个解，试求这两个解的和．
已知直线l：y=kx-2与抛物线 C：x2=-2py（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点 
OA
+
OB
=（-4，-12）．
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求点P到直线l的最大值，并求此时点P的坐标．
已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③
AP
是平面ABCD的法向量；④
AP
∥
BD
．其中正确的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）=-x2+x-6；
（2）f（x）=-
4x
；
（3）f（x）=
3-2x
x
；
（4）f（x）=-x3+1．
某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需量q万千克近似地满足关系：p=2（x+4t-14），（x≥16，t≥0），q=24+8ln
20
x
，（16≤x≤24）．当p=q市场价格称为市场平衡价格．
（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？
已知向量
a
=（1，cos（ωx-
π
6
）），
b
=（
3
，
3
sin（ωx-
π
6
）），其中ω为常数，且ω＞0
（1）若ω=1，且
a
∥
b
，求tanx的值；
（2）设函数f（x）=（
a
-
b
）2-（
3
-1）2，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x∈（0，
π
2
）时的值域．
已知焦点在x轴上的双曲线
x2
m
-
y2
n
=1的渐近线经过点P（1，
3
），则该双曲线的离心率是（　　）
A、
2
B、
3
C、2
D、3
已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=f′（
π
3
）sinx+cosx，则f′（
π
3
）=
 
．

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