Question

在数列{a_n}中，设a₁为首项，其前n项和为S_n，若对任意的正整数m、n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，且2S₆＞S₃．
（Ⅰ）设{a_n}为等差数列，且公差为d，求a₁和d的取值范围；
（Ⅱ）设{a_n}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），求a₁和q 的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据已知条件，由于数列是等差数列建立不等式，进一步求出相应的结果．
（Ⅱ）根据已知条件，由于数列是等比数列建立不等式，进一步求出相应的结果．

解答： 解：（Ⅰ）在数列{a_n}中，设a₁为首项，其前n项和为S_n，若对任意的正整数m、n都有不等式
S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，设{a_n}为等差数列，且公差为d，
则：2ma1+

2m(2m-1)

2

d+2na1+

2n(2n-1)

2

d＜2[(m+n)a1+

(m+n)(m+n-1)

2

d]
整理得：（m-n）²d＜0
则：d＜0
由2S₆＞S₃
整理得：9a₁+27d＞0
则：a₁＞-3d
所以：d＜0，a₁＞-3d
（Ⅱ）在数列{a_n}中，设a₁为首项，其前n项和为S_n，若对任意的正整数m、n都有不等式
S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，设{a_n}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），
则：

a1(1-q2m)

1-q

+

a1(1-q2n)

1-q

＜

2a1(1-qm+n)

1-q

整理得：

a1

1-q

(2qm+n-q2m-q2n)＜0
则：-

a1

1-q

(qm-qn)2＜0
所以：

a1

1-q

＞0
由2S₆＞S₃
则：2q⁶-q³-1＜0
解得：-

1

2

＜q3＜1
由于q＞0
所以：0＜q＜1
则：a₁＞0

点评：本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n项和公式的应用，和相关的运算问题．属于中等题型．