Question

平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若k_l=-1，求弦AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出动点P的坐标，分P的横坐标小于等于0和大于0两种情况讨论，横坐标小于等于0时，明显看出P的轨迹是x轴负半轴，x大于0时直接由题意列式化简整理即可．
（2）直线l：y=-x+1与y²=4x联立，消去y，整理得二次方程，由两根之和和弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到．

解答： 解：（1）设P（x，y），
由P到定点F（1，0）的距离为

(x-1)2+y2

，
P到y轴的距离为|x|，
当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；
当x＞0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，
列出等式：

(x-1)2+y2

-|x|=1，
化简得y²=4x（x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线．
则动点P的轨迹方程为y²=4x或y=0（x≤0）．
（2）直线l：y=-x+1与y²=4x联立，消去y，整理可得：x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6．
则|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8．

点评：本题考查求轨迹方程的方法：直接法，考查联立直线方程和抛物线方程，消去y，得到关于x的方程运用韦达定理，同时考查抛物线的定义，及过焦点的弦长公式，属于中档题和易错题．