Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，求证：
（1）D、B、F、E四点共面；
（2）求截面BDEF的面积．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明EF∥BD，即可证明D、B、F、E四点共面；
（2）设出正方体的棱长为a，截面BDEF是等腰梯形，求出它的面积即可．

解答： （1）证明：如图所示，
连接B₁D₁，交A₁C₁于点M，
∵BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
∴四边形BDD₁B₁是平行四边形；
∴BD∥B₁D₁；
又∵E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，
∴EF∥B₁D₁，
∴EF∥BD；
∴D、B、F、E四点共面；
（2）解：设正方体的棱长为a，则BD=B₁D₁=

2

a，
EF=

1

2

B₁D₁=

2

2

a，
∴PQ=

PM2+MQ2

=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a；
∴截面BDEF的面积为
S=

1

2

（BD+EF）•PQ
=

1

2

×（

2

a+

2

2

a）•

6

2

a
=

3 3

4

a²．

点评：本题考查了证明四点共面的问题以及求截面面积的问题，解题时应用平面公理的推理以及梯形的面积公式，是基础题．