Question

已知椭圆

x2

9

+y²=1的左焦点F₁，过F₁作直线交椭圆于点M，N，设∠MF₁F₂=α，问：α为何值时，|MN|等于短轴长？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的a，b，c，设直线MN：y=k（x+2

2

），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及弦长公式，化简整理，解方程，即可得到所求值．

解答： 解：椭圆

x2

9

+y²=1的a=3，b=1，c=2

2

，
则设直线MN：y=k（x+2

2

），联立椭圆方程，消去y，得，
（1+9k²）x²+36

2

k²x+72k²-9=0，
x₁+x₂=-

36 2 k2

1+9k2

，x₁x₂=

72k2-9

1+9k2

，
则弦长|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -36 2 k2 1+9k2 )2-4× 72k2-9 1+9k2

=2，
化简整理，即得k²=

1

3

，即有k=±

3

3

，
由tanα=±

3

3

，即有α=

π

6

或

5π

6

．
故有α=

π

6

或

5π

6

时，|MN|等于短轴长．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理以及弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．