Question

求过椭圆

x2

9

+y²=1的右焦点，且倾斜角为

π

6

的直线被椭圆所截弦长．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．

解答： 解：∵椭圆方程为椭圆

x2

9

+y²=1，
∴焦点分别为F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
∴过椭圆

x2

9

+y²=1的右焦点，且倾斜角为

π

6

的直线方程为y=

3

3

（x-2

2

），
设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将AB方程与椭圆方程消去y，得4x²-12

2

x+15=0
由韦达定理可得：x₁+x₂=3

2

，x₁x₂=

15

4

因此，|AB|=

1+( 3 3 )2

•|x₁-x₂|=

2 3

3

•

(3 2 )2-4× 15 4

=2．

点评：本题给出椭圆经过焦点且倾斜角为

π

6

的直线被椭圆所截弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．