Question

8．求使方程3cosθ-4ksinθ-2+3k=0有解时，k的取值范围．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简方程，结合题意和正弦函数的值域列出不等式组，利用分类讨论思想、一元二次不等式的解法，化简后求出不等式组的解集，即可得到k的取值范围．

解答 解：由3cosθ-4ksinθ-2+3k=0得，4ksinθ-3cosθ=3k-2，
则$\sqrt{16{k}^{2}+9}$sin（θ-α）=3k-2，得sin（θ-α）=$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$，
∵方程3cosθ-4ksinθ-2+3k=0有解，∴方程sin（θ-α）=$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$有解，
∴-1≤$\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}$≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}≤1，①}\\{\frac{3k-2}{\sqrt{16{k}^{2}+9}}≥-1，②}\end{array}\right.$，
对于①，当3k-2≤0，即k≤$\frac{2}{3}$时，恒成立；
当3k-2＞0，即k＞$\frac{2}{3}$时，①等价于（3k-2）²≤16k²+9，
化简得7k²+12k+5≥0，解得$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$，则k＞$\frac{2}{3}$，
所以不等式①的解集是R；
对于②，当3k-2≥0，即k≥$\frac{2}{3}$时，恒成立；
当3k-2＜0，即k＜$\frac{2}{3}$时，②等价于（2-3k）²≤16k²+9，
化简得7k²+12k+5≥0，解得$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$，
则$-\frac{5}{7}≤k＜\frac{2}{3}$或k≤-1，
所以不等式②解集是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$}；
综上可得，不等式组的解集是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$ }，
∴k的取值范围是{k|$k≥-\frac{5}{7}或k≤-1$ }．

点评 本题考查了正弦函数的值域，辅助角公式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题．