Question

18．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E，F，点G是AD的中点
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若GE=BD=2，EC=$\frac{9}{5}$，求BC值．

Answer 1

分析 （1）作出半径并说明半径与GE垂直，所以需要再连接OG，只要证明△OEG≌△ODG就可以了；
（2）由切割线定理，求出AE，AC，可得DC，BC．

解答 （1）证明：连接OE，OG；（1分）
∵AG=GD，CO=OD，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AC．（2分）
∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．（3分）
∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．
∴∠GOD=∠GOE．（5分）
∵OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG．（6分）
∴∠OEG=∠ODG=90°．
∴GE是⊙O的切线（7分）；
（2）解：由（1）得，AD=2GE=4，
∵AD是⊙O的切线，
∴AD²=AE•AC，
∴16=AE（AE+$\frac{9}{5}$），
∴AE=3.2，
∴AC=5，
∴DC=$\sqrt{25-16}$=3，
∴$BC=\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$．（10分））

点评 本题考查切线的判定和相似三角形的判定，考查切割线定理的运用，属于中档题．