Question

6．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，且0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π．
（1）试用向量知识证明：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）若α=$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{1}{3}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式即可证明，
（2）根据二倍角公式和诱导公式即可求出．

解答 解：（1）由题意知：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为α-β，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1×1×cos（α-β）=cos（α-β），
又$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα）、$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ，
故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）cos（2α-2β）=2cos²（α-β）-1=$\frac{7}{9}$，
又α=$\frac{3π}{4}$，
所以cos（2×$\frac{3π}{4}$-2β）=cos（$\frac{3π}{2}$-2β）=-$\frac{7}{9}$，
即sin2β=$\frac{7}{9}$

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式、二倍角公式，属于中档题