Question

20．已知函数f（x）=|x²-2x-3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b的最小值为3-2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，由a＜b＜1且f（a）=f（b），可求得（a-1）²+（b-1）²=8，a＜-1，0＜b＜1，利用直线和圆的位置关系，结合线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：作出f（x）的图象如图，由图可知，f（x）的对称轴为：x=1．
∵a＜b＜1且f（a）=f（b）
∴a＜-1，-1＜b＜1，
则|a²-2a-3|=|b²-2b-3|，
即a²-2a-3=-（b²-2b-3），
则（a-1）²+（b-1）²=8，a＜-1，-1＜b＜1，
则（a，b）的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），
由u=2a+b得b=-2a+u，
平移b=-2a+u，当直线b=-2a+u和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u最小，
此时圆心（1，1）到直线2a+b-u=0的距离d=$\frac{|2+1-u|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|u-3|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{2}$，
即|u-3|=2$\sqrt{10}$，
得u=3-2$\sqrt{10}$或u=3+2$\sqrt{10}$（舍），

故答案为：3-2$\sqrt{10}$

点评 本题考查带绝对值的函数，作出函数f（x）结合已知求得（a-1）²+（b-1）²=8，a＜-1，0＜b＜1，利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．渗透化归思想与数形结合思想，综合性较强，有一定的难度．