Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与椭圆交与A，B两点，且使得M是线段AB的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直接根据顶点坐标和离心率建立等式进行求解；
（2）首先，假设存在符合条件的直线，对斜率是否存在进行讨论，然后，联立方程组，利用判别式和根与系数的关系，并结合中点坐标公式进行求解．

解答： 解：（1）∵椭圆C的顶点为A（2，0），
∴a=2，
又∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

，
∵b=

a2-c2

=

2

，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）当过点M的直线斜率不存在时，显然不成立，
设直线的斜率为k，则其方程为：
y-1=k（x-1），
联立方程组

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y并整理，得
（1+2k²）x²-4（k²-k）x+2k²-4k-2=0，
∴△=16（k²-k）²-4（1+2k²）（2k²-4k-2）＞0，
整理，得
3k²+2k+1＞0，
∴k∈R，
∵x₁+x₂=

4(k2-k)

1+2k2

，
且点M（1，1）是线段AB的中点，
∴

4(k2-k)

1+2k2

=2，
∴k=-

1

2

，
故存在这样的直线，此时，直线方程为：
y-1=-

1

2

（x-1），
即x+2y-3=0，
∴存在符合条件的直线，它的方程x+2y-3=0．

点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线方程等知识，处理存在性问题的一般思路为：首先，假设存在，然后，根据条件作出判断．本题属于中档题．