Question

（1）若

1

4

t2-kt-1≤0在t∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围，
（2）若

1

4

t2-kt-1≤0在k∈[-1，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，要使不等式恒成立，需二次函数图象与x轴两个交点即△＞0，同时f（-1），f（1）均大于等于0，最后解不等式取交集即可．
（2）对不等式进行转换，对于t进行分类讨论，最后解不等式得到答案．

解答： 解：（1）依题意得

△=k2+1＞0 f(-1)= 1 4 +k-1≤0 f(1)= 1 4 -k-1≤0

，解得-

3

4

≤k≤

3

4

．
（2）∵

1

4

t2-kt-1≤0，
∴kt≥

1

4

t2-1，
①当t=0时，0≥-1，恒成立，符合条件，
②当t＞0时，则k≥

1

4

t-

1

t

，要使k∈[-1，1]上恒成立，需-1≥

1

4

t-

1

t

，解得t的解集为∅，
③当t＜0时，k≤

1

4

t-

1

t

，要使k∈[-1，1]上恒成立，需

1

4

t-

1

t

≥1，解得2-2

2

＜t＜0，
综合可知t的取值范围为（2-2

2

，0]．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，不等式相关知识，解不等式组等知识．解题的关键是根据题意组建不等式组．