题目内容

如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC的中点，M是DE的中点，若
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）用
a
，
b
表示
AM
；
（2）若N为线段AB的中点，求证：C、M、N三点共线．
考点：平面向量的基本定理及其意义,向量的三角形法则
专题：平面向量及应用
分析：利用向量的几何意义，表示出
AM
，利用向量共线的充要条件得到两向量共线，进一步得出三点共线．
解答： 解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，M是DE的中点，
∴
AM
=
AC
-
MC
=
AC
-（
DC
-
DM
）=
AC
-（
1
2
AC
-
1
2
DE
）=
1
2
AC
+
1
4
AB
=
1
2
（
AB
+
BC
）+
1
4
AB
=
3
4
AB
+
1
2
BC
=
3
4
a
+
1
2
b
，
（2）∵
MN
=
AN
-
AM
=
1
2
AB
-
3
4
a
-
1
2
b
=-
1
4
a
-
1
2
b
，
MC
=
AM
-
AC
=
AM
-（
AB
+
BC
）=
3
4
a
+
1
2
b
-（
a
-
b
）=-
1
4
a
-
1
2
b
，
∴
MN
=
MC

又
MN
与
MC
有交点，
∴C、M、N三点共线．
点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线，属于中档题
练习册系列答案
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某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工150人．为了解该动物职工的心理状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）
A、7B、15C、35D、25
已知焦点在x轴上的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦距为2
3
，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点．
（1）证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值；
（2）求|AB|的最小值．
设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为
 
．
已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=
20
3
，AE⊥BD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移．设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
如图，△ABC内接于⊙O于A，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，则∠ACB=（　　）
A、120°B、150°
C、90°D、100°
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+
m
2
]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若x1、x2∈[1，+∞），试比较ln（x1x2）与x1+x2-2的大小．
已知曲线C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t为参数，C2：
x=6cosθ
y=2sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=
π
2
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
x=-3
3
+
3
t
y=-3-t
（t为参数）距离的最小值．
已知函数f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．
（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；
（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较
x1+x2
2
与α，β的大小并说明理由．

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