Question

已知函数f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），x₁，x₂，x₃∈R，且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）当x₁=0，x₂=1，x₃=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；
（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较

x1+x2

2

与α，β的大小并说明理由．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）代值可把问题转化为x（x²-3x+2-m）=0，分类讨论可得；
（Ⅱ）求导数，证明方程的△＞0即可；
（Ⅲ）由题意可得f′（

x1+x2

2

）=3（

x1+x2

2

-α）（

x1+x2

2

-β）＜0，由不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）当x₁=0，x₂=1，x₃=2时，
方程f（x）=mx可化为x（x-1）（x-2）=mx，即x（x²-3x+2-m）=0
方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：
①若x=0是方程x²-3x+2-m=0的根，则m=2时，方程x（x²-3x+2-m）=0可化为x²（x-3）=0，
则方程有两相等实根，一个为0，一个为3；
②若方程x²-3x+2-m=0有两相等的实根，则△=9-4（2-m）=0，解得m=-

1

4

，
此时方程x（x²-3x+2-m）=0有两个相等的实根，一个

3

2

，一个为0
∴当m=-

1

4

或m=2时，方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根；
（Ⅱ）由f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）可得f（x）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，
∴f′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0，
∵△=4（x₁+x₂+x₃）²-12（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=2[（x₁-x₂）²+（x₂-x₃）²+（x₃-x₁）²]，
∵x₁＜x₂＜x₃．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）α＜

x1+x2

2

＜β，下面证明：
由f′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0可得
f′（

x1+x2

2

）=

3(x1+x2)2

4

-（x₁+x₂+x₃）（x₁+x₂）+x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃-x₁x₂=-

(x1-x2)2

4

＜0
即f′（

x1+x2

2

）=3（

x1+x2

2

-α）（

x1+x2

2

-β）＜0，
由α＜β可得α＜

x1+x2

2

＜β，

点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及导数和一元二次方程根的关系，属中档题．