Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）若x₁、x₂∈[1，+∞），试比较ln（x₁x₂）与x₁+x₂-2的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）代入a=-1求函数f（x）=-lnx+x-3的定义域，从而求导f′（x）=

x-1

x

；由导数确定函数的单调性；
（2）可知f′（2）=-

a

2

=tan45°；从而化简f（x）=-2lnx+2x-3，从而得 g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，求导g′（x）=3x²+（m+4）x-2；从而转化为零点的存在性问题；
（3）由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，从而可得-lnx+x-1≥0，即lnx≤x-1；从而判断大小．

解答： 解：（1）f（x）=-lnx+x-3的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

x-1

x

；
则当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
（2）由题意知，f′（2）=-

a

2

=tan45°；
故a=-2，
则f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2；
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2；
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

；
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
∴-

37

3

＜m＜-9；
（3）由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即-lnx+x-1≥0，
故lnx≤x-1；
∵x₁、x₂∈[1，+∞），
∴ln（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂≤x₁+x₂-2；
即ln（x₁x₂）≤x₁+x₂-2．

点评：本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用，同时考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．