Question

已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数，C₂：

x=6cosθ y=2sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）C₁、C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：

x=-3 3 + 3 t y=-3-t

（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

考点：圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把所给的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程．由普通方程判断表示的曲线．
（2）设Q（8cosθ，3sinθ），由中点公式求得M的坐标，根据点M到直线C₃ 的距离为  d=

|3cosθ-2+ 3 (sinθ+2)+6 3 |

2

=|

3

sin(θ+

π

3

)+4

3

-1|，当sin（θ+

π

3

）=-1时等号成立，即d取得最小值．

解答： 解：（1）对于曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数t，可得 （x+4）²+（y-3）²=1；表示以（-4，3）为圆心，1为半径的圆；
对于曲线 C₂：

x=6cosθ y=2sinθ

（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得

x2

36

+

y2

4

=1．表示焦点在x轴上的一个椭圆．
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，则点P的坐标为（-4，4），
设Q（6cosθ，2sinθ）为C₂上的动点，则PQ中点M（ 3cosθ-2，sinθ+2）．
 直线C₃：

x=-3 3 + 3 t y=-3-t

（t为参数）即 x+

3

y+6

3

=0．
∴点M到直线C₃：x+

3

y+6

3

=0的距离为 d=

|3cosθ-2+ 3 (sinθ+2)+6 3 |

2

=|

3

sin(θ+

π

3

)+4

3

-1|≥3

3

-1．
当sin（θ+

π

3

）=-1时等号成立；所以d的最小值为3

3

-1

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，中点公式、点到直线的距离公式的应用，辅助角公式、正弦函数的最值，属于中档题．