Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为

3

2

，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=-

10

3

分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；
（3）求线段MN长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c

a

=

3

2

，c2=

3

4

a2=a2-1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0），设S（x₀，y₀），则x0=-4+

10

3

=-

2

3

，y0=

1- x02 4

=

1- 1 9

=

2 2

3

，由此能求出△SAB的面积．
（3）设直线AS的斜率为k（k＞0），则lAS：y=k(x+2)，M(-

10

3

，-

4

3

k)，由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韦达定理和均值定理能求出|MN|的最小值．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的离心率为

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，…（1分）
∴c2=

3

4

a2=a2-1，…（2分）
∴a²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0），
设S（x₀，y₀），∵A为线段MS的中点，
∴-2=

- 10 3 +x0

2

，…（4分）
∴x0=-4+

10

3

=-

2

3

，
∴y0=

1- x02 4

=

1- 1 9

=

2 2

3

，…（5分）
∴△SAB的面积为：

1

2

|AB|•y0=

1

2

×4×

2 2

3

=

4 2

3

．…（7分）
（3）设直线AS的斜率为k（k＞0），
则lAS：y=k(x+2)，M(-

10

3

，-

4

3

k)…（8分）
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，消得y得x²+4[k（x+2）]²=4，
即（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，…（9分）
∴xA•xS=(-2)•xS=

16k2-4

1+4k2

，
∴xS=

2-8k2

1+4k2

，…（10分）
将x_S代入y=k（x+2），得yS=

4k

1+4k2

，即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，
∴kBS=

4k 1+4k2 -0

2-8k2 1+4k2 -2

=-

1

4k

，
∴直线BS的方程为：y=-

1

4k

(x-2)，…（11分）
∴yN=-

1

4k

(-

10

3

-2)=

4

3k

，
∴|MN|=|yN-yM|=|

4

3k

-(-

4

3

k)|…（12分）
=

4

3

|

1

k

+k|=

4

3

(

1

k

+k)≥

8

3

，…（13分）
当且仅当

1

k

=k即k=1时等号成立，
∴|MN|的最小值为

8

3

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查线段的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．