Question

已知F（1，0）椭圆C₁的右焦点且F为双曲线C₂的右顶点，椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点是M（

2 3

3

，

3

3

）．
（Ⅰ）求椭圆C₁及双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若点P是双曲线右支上的动点，直线PF交y轴于点Q，试问以线段PQ为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,椭圆的标准方程,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，结合椭圆的定义，即可求椭圆C₁及双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）直线PF₂的方程为y=

y0

x0-1

（x-1），得Q（0，-

y0

x0-1

），证明

F1P

•

F1Q

=0，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意设椭圆C₁的方程是

x2

a12

+

y2

b12

=1，双曲线C₂的方程是x2-

y2

b22

=1，…1分
则2a₁=|MF₁|+|MF₂|=

8+4 3 3

+

8-4 3 3

=2

2

，
∴a₁=

2

，b₁=1，椭圆C₁的方程是

x2

2

+y2=1，…4分
由点M在双曲线上得：

4

3

-

1

3b22

=1，得b22=1，
∴双曲线C₂的方程是x²-y²=1，…6分
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则x02-y02=1，
直线PF₂的方程为y=

y0

x0-1

（x-1），得Q（0，-

y0

x0-1

），
∴

F1P

=（x₀+1，y₀），

F1Q

=（1，-

y0

x0-1

），
∴

F1P

•

F1Q

=（x₀+1）-y₀•

y0

x0-1

=0，
∴

F1P

⊥

F1Q

，
∴以线段PQ为直径的圆恒过定点F₁（-1，0）．，…12分

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查恒过定点问题，综合性强．