Question

14．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，代入点（3，-4），可得b=$\frac{4}{3}$a，再由c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，e=$\frac{c}{a}$，即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由渐近线过点（3，-4），
可得-4=-$\frac{3b}{a}$，
即b=$\frac{4}{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{16}{9}{a}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的性质，主要是渐近线方程和离心率，考查运算能力，属于基础题．