Question

2．如图，在斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形，且∠BAD=$\frac{π}{3}$，若∠AA₁C=$\frac{π}{2}$，且A₁在底面ABCD上的射影为△ABD的重心G．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁；（2）求三棱锥C₁-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC，BD交点为O，则O在AC上，由A₁G⊥平面ABCD得A₁G⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，故而BD⊥平面ACC₁A₁，于是平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）利用等体积转换，求三棱锥C₁-A₁BC的体积．

解答 （1）证明：连结AC、BD相交于O
∵四边形ABCD为菱形，且$∠BAD=\frac{π}{3}$，∴△ABD为等边三角形，
∵A₁在底面ABCD上的射影G为△ABD的重心，∴G∈ACA₁G⊥平面ABCD，∴BD⊥A₁G，
又四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁G与AC相交于G，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD在平面BDD₁B₁内，∴平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁．
（2）解：∵$AG=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2\sqrt{3}×\frac{2}{3}=2，GC=4$，
∴在Rt△AA₁C中，由射影定理知${A_1}{G^2}=AG•GC$，求得${A_1}G=2\sqrt{2}，AO=3$.${V_{{C_1}-{A_1}BC}}={V_{{B_1}-{A_1}BC}}={V_{A-{A_1}BC}}={V_{{A_1}-ABC}}$，且△ABC是腰长为$2\sqrt{3}$，顶角为$\frac{2π}{3}$的等腰三角形，
∴${V_{A-ABC}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×（{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×12}）=2\sqrt{6}$，即三棱锥C₁-A₁BC的体积$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，三棱锥C₁-A₁BC的体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．