Question

4．一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角．

（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求AD与BC所成的角的正切值；
（3）求二面角A-BD-C的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABD⊥平面ACD；
（2）根据异面直线所成角的定义进行转化即可求AD与BC所成的角的正切值；
（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角即可求二面角A-BD-C的大小的正切值．

解答 （1）证明：取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，
∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD．
又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB?平面ABD．
∴平面ABD⊥平面ACD．
（2）解：在面BCD内，过D作DF∥BC，过E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂线定理知AF⊥DF，∠ADF为AD与BC所成的角．
设AB=m，则BC=$\sqrt{2}$m，CE=DF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m，CD=EF=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$m∴$tanADF=\frac{AF}{DF}=\frac{{\sqrt{A{E^2}+E{F^2}}}}{DF}=\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，
即AD与BC所成的角的正切值为$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．
（3）解：∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，
∴∠AGE为二面角A-BD-C的平面角

∵∠EBG=30°，BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m，∴EG=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$m
又AE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m，∴tanAGE=$\frac{AE}{GE}$=2，即二面角A-BD-C的大小的正切值为2．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及空间二面角和异面直线所成角的求解，根据空间角的定义进行转化是解决本题的关键．