Question

17．已知等比数列{a_n}的公比q=2，前3项和是7，等差数列{b_n}满足b₁=3，2b₂=a₂+a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{2}{{（2n-1）{b_n}}}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列和等比数列的定义以及等比数列的求和公式即可求出通项公式，
（Ⅱ）$\frac{2}{（2n-1）{b}_{n}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，裂项求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的公比q=2，前3项和是7，
∴a₁+2a₁+4a₁=7，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1，
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=3，2b₂=a₂+a₄=2+8，
∴b₂=5，
∴d=5-3=2，
∴b_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）$\frac{2}{（2n-1）{b}_{n}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴数列$\left\{{\frac{2}{{（2n-1）{b_n}}}}\right\}$的前n项和S_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和裂项求和，考查了学生的运算能力，属于中档题