Question

【题目】有一块半圆形的空地，直径米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，，在半圆上，其余为绿化部分，设.

（1）记花圃的面积为，求的最大值；

（2）若花圃的造价为10元/米，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，总造价最大.

【解析】

（1）根据梯形的面积公式可得，解得三角函数的性质和导数求得的最大值.

（2）求得花圃的总造价，然后利用导数求得时，总造价最大.

（1）设半径为，则米，作，垂足为，

因为，所以，

所以，

所以

.

，

所以当时，，递增；当时，，递减.

所以当时最大，最大值为.

（2）设花圃总造价为，.

.

令，则，由于，则.

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数有最大值，即总造价最大.