题目内容
【题目】如图,矩形所在的平面与正方形
所在的平面相互垂直,
是
的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求证:平面⊥平面
;
(Ⅲ)若,
,求多面体
的体积.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)1
【解析】
试题(Ⅰ)连接BD交AC于O,连接EO.证明EO∥QB,即可证明QB∥平面AEC;(Ⅱ)证明CD⊥AE,AE⊥QD.推出AE⊥平面QDC,然后证明平面QDC⊥平面AEC;(Ⅲ)通过多面体ABCEQ为四棱锥Q-ABCD截去三棱锥E-ACD所得,计算求解即可
试题解析:(Ⅰ)证明:连接交
于
,连接
.
因为 分别为
和
的中点,则
∥
.
又 平面
,
平面
,
所以 ∥平面
(Ⅱ)证明: 因为矩形所在的平面与正方形
所在的平面相互垂直,
平面
,
,
所以平面
.
又平面
, 所以
.
因为,
是
的中点, 所以
.
所以平面
.
所以平面⊥平面
.
(Ⅲ)解:多面体为四棱锥
截去三棱锥
所得,
所以.
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