Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE=

6

3

a，M、N分别为PD、AC上的点，且PM=AN．
（1）求PA的长；
（2）求证：MN∥平面PAB；
（3）试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD；
（4）求线段MN的长的最小值．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设出PA，利用勾股定理以及三角形的面积求解即可．
（2）过M作MR∥PA，连结NR，说明平面MNR∥平面PAB，即可得到结论．
（3）画出图形，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG，要证明EF∥平面PAD，只需证明FE∥AG即可；然后确定F的位置．
（4）设出PM，然后求出MR，NR，表示出MN，然后利用二次函数的最值求解最小值．

解答： 解：（1）由题意设PA=x，则：PB=

x2+a2

，AC=

2

a，PC=

x2+2a2

，在Rt△PBC中，BE•PB=BC•PB
可得：

6

3

a•

x2+2a2

=a•

x2+a2

，解得x=a．
∴PA=a．
（2）过M作MR∥PA，连结NR，由（1）可知PA=a，
M、N分别为PD、AC上的点，且PM=AN．
易证NR∥CD，可得平面MNR∥平面PAB，
⇒MN∥平面PAB；
（3）解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，
在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，
∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，FE?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，
CE=

BC2-BE2

=

3

3

a．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=

a2

3 3 a

=

3

a．又

EG

CD

=

PE

PC

，
∴EG=

PE

PC

•CD=

2

3

a，
∴AF=EG=

2

3

a．
∴点F为AB的一个三等分点．
（4）设PM=t，（0＜t＜

2

a），则AN=t，∵NR∥CD，可知
△ANR∽△ACD，∴

NR

a

=

t

2 a

，NR=

2

2

t．
同理可得MR=a-

2

2

t．
MN=

( 2 2 t)2+(a- 2 2 t)2

=

t2- 2 at+a2

，（0＜t＜

2

a），
当t=

2

2

a时，MN最小，最小值为：

2

2

a．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，涉及空间距离，以及空间距离的最值问题，考查学生的逻辑思维能力，空间想象能力以及转化思想的应用．