Question

已知函数f（x）=4^x-a•2^x+1-2．
（Ⅰ）若a=1，求f（log₂3）的值；
（Ⅱ）某同学研究的值域时的过程如下，请你判断是否正确，如果不正确，请写出正确的过程．
f（x）=（2^x）²-2a•2^x-2=（2^x-a）²-a²-2
∴f（x）的值域为[-a²-2，+∞）．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）若a=1，根据对数的运算法则即可求f（log₂3）的值；
（Ⅱ）利用换元法结合一元二次函数的性质即可求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=4^x-2^x+1-2．
则f（log₂3）=4log23-2•2log23-2=（2log23）²-2×3-2=9-6-2=1；
（Ⅱ）不正确：
f（x）=（2^x）²-2a•2^x-2=（2^x-a）²-a²-2，
令t=2^x，则t＞0，
则函数等价为y=g（t）=（t-a）²-a²-2，
若a≤0，则函数在（0，+∞）上为增函数，此时y=g（t）＞g（0）=-2，
若a＞0，则当t=a时，函数取得最小值，此时y=g（t）≥g（t）=-a²-2，
综上当a≤0时，函数的值域为（-2，+∞），
当a＞0时，函数的值域为[-a²-2，+∞）．

点评：本题主要考查与指数函数有关的性质是运算，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．