Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若 f（x）≤0恒成立，式确定实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：本题（1）先求出函数的导函数，利用导函数值的正负，研究函数的单调性，注意要分类研究；（2）要使 f（x）≤0恒成立，就要求函数的最大值小于0，利用（1）的结论，得到求出函数最大值，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴f′（x）=

1

x-1

-k，（x＞1），
∴当k≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
当k＞0时，令

1

x-1

-k＞0，则1＜x＜1+

1

k

，∴函数f（x）在区间（1，1+

1

k

）上单调递增；
          令

1

x-1

-k＜0，则x＞1+

1

k

，∴函数f（x）在区间（1+

1

k

，+∞）上单调递减．
综上，当k≤0时，函数f（x）单调递增区间为（1，+∞）；
当k＞0时，函数f（x）单调递增区间为（1，1+

1

k

），单调递减区间为（1+

1

k

，+∞）．
（2）由（1）知：当k＞0时，函数f（x）的最大值为：f（1+

1

k

）=ln

1

k

=-lnk．
∵f（x）≤0恒成立，
∴-lnk＜0，
∴k＞1．

点评：本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．