Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求四棱锥O-ABCD的体积；
（2）求异面直线OC和MD所成角的正切值大小．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间角

分析：（1）四棱锥O-ABCD的底面是边长为2的正方形，高为2，由公式即可求得体积；
（2）根据异面直线所成角的定义作出OC和MD所成角再求出其大小即可得出所求的正切值．

解答： 解：（1）由题意，四棱锥的底面积是2×2=4，高为2，故其体积为

1

3

×4×2=

8

3

；
（2）连接AC，BD交于一点N，连接MN，ND，
由于N，M是中点，可得MN∥OC，所以∠NMD即为异面直线OC和MD所成角（或补角）
由已知OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，可得Rt△MAD，Rt△MAN，Rt△MND
又由题设可得AM=1，DN=AN=

2

，在Rt△MAN中可得MN=

3

故tan∠NMD=

2

3

=

6

3

即异面直线OC和MD所成角的正切值大小为

6

3

．

点评：本题考查异面直线所成的角及棱锥的体积的求解，线面垂直的定义等基础知识与技能属于立体几何中的基础题，要好好把握其解答规律．