Question

已知定义域为R的奇函数f（x）在[0，3]上单调递增，且对于任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（3-y）+f（3-x）f（y）
（1）求f（0）和f（1）的值；
（2）求证：f（x）为周期函数；
（3）求满足不等式f（4x+1）≥

1

2

的实数x的集合．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性,函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇函数直接求f（0），通过x=y=1赋值法，利用函数的单调性然后求解f（1）的值；
（2）说明函数f（x）的奇偶性，通过令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．推出函数的周期，
（3）根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，即可求满足f（4x+1）≥

1

2

的实数x的集合．

解答： 解：（1）证明：令x=y=0，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f（1）=

1

2

．（1分）
令x=0，y=1，得f（1）=[f（0）]²+[f（1）]²．
若f（1）=

1

2

，则f（0）=±

1

2

．
令x=y=

1

2

，得f（1）=2[f（

1

2

）]²．
即f（

1

2

）=±

1

2

，
因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜f（

1

2

）＜f（1），矛盾！
因此f（0）=0，f（1）=[f（1）]²，f（1）=1．
（2）令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函数f（x）的最小正周期为4．
（3）令x=y=

1

3

f（

2

3

）=2f（

1

3

）f（

2

3

），因为f（

2

3

）＞f（0）=0，所以f（

1

3

）=

1

2

．
由②得：f（

5

3

）=

1

2

．
根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，
观察得，若f（4x+1）≥

1

2

，
则 

1

3

+4k≤4x+1≤

5

3

+4k，k∈Z，
所以-

1

6

+k≤x≤

1

6

+k，k∈Z，
x∈{x|-

1

6

+k≤x≤

1

6

+k，k∈Z}．

点评：本题是综合题，考查赋值法求函数值的应用，函数奇偶性的判断与证明，函数图象的应用，不等式的解法．运算能力，理解能力要求比较高．