Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2+

n

an

（n∈N^*），求证：a_n＜1+

n+1

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把已知的数列递推式变形，把要证的不等式转化为证an+1＞

n+1

+1，然后利用数学归纳法证明．

解答： 证明：由a_n+1=2+

n

an

，得an=

n

an+1-2

，
要证a_n＜1+

n+1

，即证

n

an+1-2

＜1+

n+1

=

n

n+1 -1

，
∵a₁=2，a_n+1=2+

n

an

，∴a_n+1-2＞0，
也就是证an+1＞

n+1

+1．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，a₁=2，a2=2+

1

a1

=3＞

1+1

+1，结论成立；
假设当n=k时结论成立，即ak＜1+

k+1

，
那么，当n=k+1时，ak+1=2+

k

ak

＞2+

k

1+ k+1

=2+

k( k+1 -1)

k

=

k+1

+1．
当n=k+1时结论成立．
综上所述，对于任意的n∈N^*结论成立．
∴a_n＜1+

n+1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，解答此题的关键在于把要证的不等式转化为证an+1＞

n+1

+1，难度较大．