Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8

3

，求p的值及圆F的方程；
（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据∠BFD，|BF|=|FD|，推断出∠FBD=∠FBD=30°，进而表示出|FR|，|BF|，|BR|，|DF|，|DR|，进而表示出|BD|及圆的半径，进而利用抛物线的定义求得A到直线l的距离，利用三角形的面积，求得p，进而求得F的坐标和圆的方．
（2）根据A，B，F三点一线，推断出AB为圆F的直径，求得∠ADB=90°，利用抛物线的定义求得|AD|=

1

2

|AB|，求得∠ABD，进而求得直线DF的斜率及直线的方程，与抛物线方程联立，求得交点的坐标即E点坐标，进而求得点E到直线AD的距离，最后利用三角形面积公式求得△EDA的面积．

解答： 解：（1）∵∠BFD=120°，|BF|=|FD|，
∴∠FBD=∠FBD=30°，
∵在Rt△BFR中，|FR|=p，
∴|BF|=2p，|BR|=

3

p，
同理有|DF|=2p，|DR|=

3

p，
∴|BD|=|BR|+|RD|=

3

P，
圆F的半径|FA|=|FB|=2p，
由抛物线的定义可知A到l的距离d=|FA|=2p，
∵△ABD的面积为8

3

，
∴

1

2

|BD|•d=

3

，即

1

2

•2

3

p•2p=8

3

，解的p=2或p=-2（舍去），
∴F（1，0），圆F的方程为（x-1）²+y²=16．
（2）∵A，B，F三点在同一直线上，
∴AB为圆F的直径，∠ADB=90°，
由抛物线定义知|AD|=|FA|=

1

2

|AB|，
∴∠ABD=30°，
直线DF的斜率k=tan60°=

3

，
∴直线DF的方程为y=

3

（x-1），
解方程组

y= 3 (x-1) y2=4x

，求得

x=3 y=2 3

（舍去）或

x= 1 3 y= 2 3 3

，
∴点E（

1

3

，-

2 3

3

），到DA的距离d′=|DR|-|y_B|=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
∴S=

1

2

|DA|•d′=

1

2

×4×

4 3

3

=

8 3

3

．

点评：本题主要考查了抛物线的基本性质，圆锥曲线的位置关系，圆的方程等问题．综合性强，计算量大，考查了学生分析推理和运算的能力．