Question

若函数f（x）的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分，则函数f（x）称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆

x2

4

+y²=1的“可分函数”为（　　）

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=sinx
• C、f（x）=ln

  2-x

  2+x

• D、f（x）=e^x+e^-x-2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：关于原点对称的函数都可以等分椭圆周长、面积，验证哪个函数不是奇函数即可．

解答： 解：A中，∵f（x）=x³是奇函数，∴f（x）=x³的图象关于原点对称，
故f（x）=x³是椭圆的“可分函数”；
B中，∵f（x）=sinx是奇函数，∴f（x）=sinx的图象关于原点对称，
故f（x）=sinx是椭圆

x2

4

+y²=1的“可分函数”；
C中，∵f（x）+f（-x）=ln

2-x

2+x

+ln

2+x

2-x

=ln1=0，
∴f（x）是奇函数，∴f（x）=ln

2-x

2+x

的图象关于原点对称，
故f（x）=ln

2-x

2+x

是椭圆的“可分函数”；
D中，∵f（x）=e^x+e^-x-2不是奇函数，
∴f（x）=e^x+e^-x-2的图象关于原点不对称，
∴f（x）=e^x+e^-x-2不是椭圆的“可分函数”．
故选：D．

点评：本题考查椭圆的“可分函数”的判断，是基础题，解题时要准确把握题意并合理转化，注意函数的奇偶性的合理运用．