Question

已知点P（-1，2），圆C：（x-1）²+（y+2）²=4
（1）求过点P的圆C的切线方程，并求此切线的长度；
（2）设圆C上有两个不同的点关于直线l对称且点P到直线l的距离最长，求直线l的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设过P（-1，2）的切线为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P的圆C的切线方程，并求此切线的长度；
（2）确定l经过圆C的圆心C（1，-2），使P到l的距离最长，则l⊥PC，直线PC的斜率k_PC=-2，可得l斜率，即可得出直线l的方程．

解答： 解：（1）设过P（-1，2）的切线为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
∴

2k+4|

k2+1

=2，
∴k²+4k+4=k²+1，
∴k=-

3

4

…．（2分）
两条切线l₁：x=-1；l₂：3x+4y-5=0…．（4分）
切线长=

(-1-1)2+(2+2)2-22

=4…（6分）
（2）∵圆C上有两个不同的点关于直线l对称，
∴l经过圆C的圆心C（1，-2）…（8分）
使P到l的距离最长，则l⊥PC，直线PC的斜率k_PC=-2，
∴l斜率为

1

2

…..（10分）
∴直线l：y+2=

1

2

（x+1），即l方程：x-2y-3=0…．（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础．