Question

给出下列命题：
①函数y=2^-|x|为偶函数；
②函数y=1是周期函数；
③函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；
④函数g（x）=|log₂ x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂且x₁•x₂＜1．
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①令f（x）=2^-|x|，利用偶函数的定义f（-x）=f（x）即可判断出；
②令f（x）=1，T＞0，利用周期函数的定义f（x+T）=f（x）即可判断出；
③容易验证x=2，4是函数的零点．利用函数零点判定存在定理可判断在区间（-1，0）时存在零点．
④画出函数函数g（x）=|log₂ x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）的图象即可判断出．

解答： 解：①令f（x）=2^-|x|，则f（-x）=f（x），∴函数y=2^-|x|为偶函数；
②令f（x）=1，T＞0，则f（x+T）=f（x）=1，∴函数y=1是周期函数；
③由函数f（x）=2^x-x²，
∵f（2）=f（4）=0，∴x=2，4是函数的零点．
又f（0）=1＞0，f（-1）=2^-1-（-1）²=-

1

2

＜0，∴f（0）f（-1）＜0．
∴在区间（-1，0）时存在零点．
∴函数共有3个零点．因此不正确．
④画出函数函数g（x）=|log₂ x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）的图象：
上恰有两个零点x₁，x₂．
不妨设x₁＜x₂．
则0＜x₁＜1＜x₂．
-log2x1=(

1

2

)x1，log₂x₂=(

1

2

)x2．
∴log₂（x₁x₂）=(

1

2

)x2-(

1

2

)x1＜0，
∴x₁•x₂＜1．
因此正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了函数奇偶性、函数零点判定定理、数形结合思想方法，属于中档题．