题目内容
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足4Sn=an2+2an-8，数列{bn}是等差数列，b1=
-5，b2=
-11．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=
+bn，数列{cn}中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，请指出符合条件的项满足的条件：若不存在．请说明理由．
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（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=
| Sn |
| n |
考点：等差数列与等比数列的综合
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）利用4Sn=an2+2an-8，再写一式，两式相减，结合数列{an}是正项数列，可求数列{an}的通项公式，利用数列{bn}是等差数列，b1=
-5，b2=
-11，求出公差，即可求数列{bn}的通项公式；
（2）求出数列{cn}的通项，假设数列{cn}中存在不同的三项构成等比数列，利用等比数列的性质，建立等式，即可得出结论．
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（2）求出数列{cn}的通项，假设数列{cn}中存在不同的三项构成等比数列，利用等比数列的性质，建立等式，即可得出结论．
解答：
解：（1）∵4Sn=an2+2an-8，
∴n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1-8，
两式相减可得4an=an2-an-12+2an-2an-1，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}是正项数列，
∴an-an-1=2，
∵n=1时，4S1=a12+2a1-8，
∴a1=4，
∴an=4+2（n-1）=2n+2，
∵数列{bn}是等差数列，b1=
-5，b2=
-11，
∴d=-6，
∴bn=（
-5）-6（n-1）=-6n+
+1；
（2）4Sn=an2+2an-8=（2n+2）2+2（2n+2）-8=4n2+12n，
∴Sn=n2+3n，
∴cn=
+bn=n+3-6n+
+1=-5n+
+4，
设数列{cn}中存在不同的三项构成等比数列，则
（-5n+
+4）2=（-5m+
+4）（-5p+
+4），
∴25n2-25mp=10（
+4）（n-m-p），
∵等式左边是有理数，
∴
，
∴（m+p）2=mp，
∴m2+mp+p2=0，
∵方程无解，
∴数列{cn}中不存在不同的三项构成等比数列．
∴n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1-8，
两式相减可得4an=an2-an-12+2an-2an-1，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}是正项数列，
∴an-an-1=2，
∵n=1时，4S1=a12+2a1-8，
∴a1=4，
∴an=4+2（n-1）=2n+2，
∵数列{bn}是等差数列，b1=
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∴d=-6，
∴bn=（
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（2）4Sn=an2+2an-8=（2n+2）2+2（2n+2）-8=4n2+12n，
∴Sn=n2+3n，
∴cn=
| Sn |
| n |
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设数列{cn}中存在不同的三项构成等比数列，则
（-5n+
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∴25n2-25mp=10（
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∵等式左边是有理数，
∴
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∴（m+p）2=mp，
∴m2+mp+p2=0，
∵方程无解，
∴数列{cn}中不存在不同的三项构成等比数列．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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