Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设

PA

=m

AF

，

PB

=n

BF

，（m，n∈R）．已知椭圆C上的点到焦点F的最大值与最小值的比值为3+2

2

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：m+n为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a+c

a-c

=3+2

2

，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由 （1）得a²=2c²，b²=c²，设椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，直线方程为：y=k（x-c），由

x2 2c2 + y2 c2 =1 y=k(x-c)

，得（2k²+1）x²-4k²cx+2k²c-2c²=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明m+n为定值．

解答： （1）解：∵椭圆C上的点到焦点F的最大值与最小值的比值为3+2

2

，
∴

a+c

a-c

=3+2

2

，
∴

1+e

1-e

=3+2

2

，
解得e=

2

2

，
∴椭圆的离心率为

2

2

．
（2）证明：由 （1）得a²=2c²，b²=c²，
设椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
直线方程为：y=k（x-c），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 2c2 + y2 c2 =1 y=k(x-c)

，得（2k²+1）x²-4k²cx+2k²c-2c²=0，
∴x1+x2=

4k2c

2k2+1

，x1x2=

2k2c2-2c2

2k2+1

，
又点P（0，-kc），
由

PA

=m

AF

，

PB

=n

BF

，(m，n∈R)，
得m=

x1

c-x1

，n=

x2

c-x2

，
∴m+n=

x1

c-x1

+

x2

c-x2

=

c(x1+x2)-2x1x2

c2-c(x1+x2)+x1x2

=-4．
∴m+n为定值-4．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．