Question

14．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M，若O为坐标原点，△OFM的面积是$\frac{1}{2}{a^2}$，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 依题意，可求得过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线与bx-ay=0的交点M的坐标，利用△OFM的面积是$\frac{1}{2}{a^2}$即可求得此双曲线的离心率

解答 解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$得：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$，即M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵△OAF的面积为$\frac{1}{2}$a²，
∴$\frac{1}{2}$|OF|×y_A=$\frac{1}{2}$c×$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{2}$a²，
∴b=a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，求得M的坐标是关键，考查转化思想与方程思想，属于中档题．