Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．
（1）求证：AB⊥DS；
（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连结OD，OS，推导出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能证明AB⊥SD．
（2）推导出OS⊥平面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点O，连结OD，OS，
∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，
∵四边形ABCD是直角梯形，DC=$\frac{1}{2}AB$，AB∥CD，
∴四边形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，
又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，
∴AB⊥SD．
解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，
平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴OS⊥平面ABCD，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，6，0），B（0，-6，0），D（6，0，0），C（6，-6，0），
S（0，0，6$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DS}$=（-6，0，6$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（6，-6，0），
设平面SAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}=-6x+6\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=6x-6y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$，
同理，得平面SBC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}×2}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．