Question

已知直线y=x+1与椭圆

x2

16

+

y2

4

=1交于A，B两点．
（1）求线段AB中点M的坐标；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把直线方程代入椭圆方程化简，利用韦达定理求出中点坐标．
（2）利用弦长公式求出弦长即可．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意可知：

y=x+1 x2 16 + y2 4 =1

，消去y可得：x²+4（x+1）²-16=0，即5x²+8x-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-

8

5

，y₁+y₂=x₁+x₂+2=

1

5

，∴线段AB中点M的坐标（-

8

5

，

1

5

）；
（2）由弦长公式可得：|AB|=

1+1

(- 8 5 )2+48

=

2

64 25 +48

=

4 158

5

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，一元二次方程根与系数的关系，把直线x-y=1代入椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，利用韦达定理以及弦长公式是解题的关键．