Question

已知f（x）=（sinx+cosx）sinx，若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），对?x∈R成立，则|x₁-x₂|最小值为（　　）

• A、

  π

  8

• B、

  π

  4

• C、

  π

  2

• D、π

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：由题意可得f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值，故|x₂-x₁|的最小值为半个周期，再根据正弦函数的周期性可得结论．

解答： 解：∵f（x）=（sinx+cosx）sinx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∵若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），对?x∈R成立，
∴可得f（x₁）为函数的最小值，f（x₂）为函数的最大值，
故|x₂-x₁|的最小值为半个周期，即

1

2

T=

π

2

．
故选：C．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性和值域，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．