Question

设函数f（x）=axⁿ-lnx-1（n∈N⁺，n≥2，a＞1）是否存在a，使得f（x）存在两个零点x₁，x₂，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,导数的综合应用

分析：f（x）=axⁿ-lnx-1的定义域为（0，+∞），令f′（x）=nax^n-1-

1

x

=

naxn-1

x

=0得，从而解得．

解答： 解：f（x）=axⁿ-lnx-1的定义域为（0，+∞），
令f′（x）=nax^n-1-

1

x

=

naxn-1

x

=0得，
x=

n	1 na

，且f（x）在定义域上先减后增，
故f（

n	1 na

）=

1

n

+

1

n

lnna-1＜0，
故a＜

en-1

n

；
当n=2时，a=

e

2

即成立．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题．