为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关.现对30名六年级学生进行了问卷调查.得到如下2×2列联表.平均每天喝500ml以上为常喝.体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人.抽到肥胖的学生的概率为$\frac{4}{15}$．常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30(1)请将上面的列联表补充完整．能否在犯错误的概率不超过0.005的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为$\frac{4}{15}$．

	常喝	不常喝	合计
肥胖		2
不肥胖		18
合计			30

（1）请将上面的列联表补充完整．能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
（2）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

分析（1）根据分层抽样原理求出常喝碳酸饮料且肥胖的学生数x，填写列联表，计算观测值，对照数表得出概率结论；
（2）求出ξ可能取值以及对应的概率值，写出ξ的分布列与数学期望值．

解答解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x人，
则$\frac{x+2}{30}$=$\frac{4}{15}$，解得x=6；
列联表如下：

	常喝	不常喝	合计
肥胖	6	2	8
不肥胖	4	18	22
合计	10	20	30

由已知数据可得k=$\frac{30（6×18-2×4）2}{10×20×8×22}$≈8.523＞7.879，
因此在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；…（5分）．
（2）由题意知ξ可能取值为0，1，2，3，
则有$P（ξ=0）=\frac{C_6^0C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_6^2C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_6^3C_4^0}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$；
ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

∴ξ的数学期望为$Eξ=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$． …（12分）．

点评本题考查了分层抽样原理以及利用列联表计算观测值的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望值的计算问题，是综合性题目．

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