Question

14．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2AD，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA₁=2AB=2AD=2，
则A₁（1，0，2），B（1，1，0），A（1，0，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
设异面直线A₁B与AD₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．
∴异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．