Question

17．已知函数f（x）=2x³-3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，则t的取值范围是（-3，-1）．

Answer 1

分析 设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，进行求解即可得到结论．

解答 解：函数的导数f′（x）=6x²-3，
设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，2x³-3x），
则$\frac{2{x}^{3}-3x-t}{x-1}$=6x²-3，
化简得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
则令g′（x）=12x（x-1）=0，
则x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．
故答案为：（-3，-1）

点评 本题考查了导数的几何意义的应用，求函数的导数，利用导数的几何意义和切线斜率之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．