Question

求函数y=asin²x+2sinx-

1

2

，x∈[

π

6

，

5π

6

]的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：分类讨论,三角函数的图像与性质

分析：讨论a=0时，y的值域是什么，a≠0时，函数y的值域是什么，求出答案来．

解答： 解：∵函数y=asin²x+2sinx-

1

2

，
∴①当a=0时，y=2sinx-

1

2

，
∵x∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴sinx∈[

1

2

，1]，
∴y=2sinx-

1

2

∈[

1

2

，

3

2

]；
②当a≠0时，
y=a（sin²x+

2

a

sinx+

1

a2

）-

1

a

-

1

2

=a(sinx+

1

a

)2-

1

a

-

1

2

，
（i）若a＞0，则函数y的最大值是y_max=a+2-

1

2

=a+

3

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

，
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤a+

3

2

；
（ii）若-1≤a＜0，则

1

a

≤-1，
函数y的最大值是y_max=a+2-

1

2

=a+

3

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

，
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤a+

3

2

（iii）若-2≤a＜-1，则-1＜

1

a

≤-

1

2

，
函数y的最大值是y_max=-

1

a

-

1

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

；
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤-

1

a

-

1

2

（iv）若a＜-2，则-

1

2

＜

1

a

＜0，
函数y的最大值是y_max=a+

3

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

；
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤a+

3

2

综上，a=0时，y的值域是[

1

2

，

3

2

]，
a＞0时，y的值域是[

1

4

a+

1

2

，a+

3

2

]；
-1≤a＜0时，y的值是[

1

4

a+

1

2

，a+

3

2

]
-2≤a＜-1时，y的值是[

1

4

a+

1

2

，-

1

a

-

1

2

]
a＜-2时，y的值是[

1

4

a+

1

2

；a+

3

2

]．

点评：本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是易错题．