Question

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现在定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x+2②f（x）=x²③f（x）=2^x④f（x）=

1

x

⑤f（x）=lnx
其中是“保等比数列函数”的是

 

  （填序号）

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：首先，审题，然后，针对给定的函数进行逐个验证，是否符合“保等比数列函数”的性质即可．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，则
对于①：
设b_n=f（a_n）=3a_n+2，
∴

bn+1

bn

=

3an+1+2

3an+2

≠（常数），
∴它不是保等比数列函数；
对于②：
设b_n=f（a_n）=a_n2，
∵

bn+1

bn

=(

an+1

an

)2=q2，
∴它是保等比数列函数；
对于③：
设b_n=f（a_n）=2^a_n，
∵

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an
显然它不是一个常数，
∴它不是保等比数列函数；
对于④：
设b_n=f（a_n）=

1

an

，
∵

bn+1

bn

=

1

an+1

×an=

1

q

（常数），
∴它是保等比数列函数；
对于⑤：
设b_n=f（a_n）=lna_n，
∵

bn+1

bn

=

lnan+1

lnan

，
它显然不是一个常数，
所以它不是保等比数列函数；
综上，得到符合保等比数列函数的为：②④．
故答案为：②④．

点评：本题重点考查了等比数列的概念和判定方法、数列和函数综合运用等知识，属于创新题，解题关键是准确理解“保等比数列函数”的概念．