Question

求下列数列{a_n}的通项公式：
（1）a₁=

1

2

，a_n+1（1+a_n）=a_n；
（2）a₁=1，（n+1）

a

2 n+1

-n

a

2 n

+a_n+1a_n=0；
（3）a₁=1，（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意得a_n+1=

1

1 an +1

，求出a₂，a₃，依次得到规律，问题得以解决；
（2）由题意得a_n+1=

n

n+1

a_n，再由累乘法可得到数列的通项公式是a_n．
（3）由点（a_n，a_n+1）都在直线y=2x+1上可得a_n+1=2a_n+1，可化归为等比数列解决；

解答： 解：（1）∵a_n+1（1+a_n）=a_n，a₁=

1

2

，
∴a_n+1=

an

1+an

=

1

1 an +1

，
∴a₂=

1

2+1

=

1

3

，
a₃=

1

3+1

=

1

4

，
…
a_n=

1

1+n

，
验证当n=1时，a₁=

1

2

成立，
故a_n=

1

1+n

，
（2）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，
∴（n+1）a_n+1=na_n或a_n+1+a_n=0，
∵{a_n}是首项为1的正数项数列，
∴（n+1）a_n+1=na_n，
∴a_n+1=

n

n+1

a_n，
∴

an+1

an

=

n

n+1

，
∴

a2

a1

=

1

2

，

a3

a2

=

2

3

，…

an

an-1

=

n-1

n

，
利用累乘法得，

an

a1

=

1

n

，
∴a_n=

1

n

，
（3）因为点P（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，
所以a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴

an+1+1

an+1

=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列；
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
从而a_n=2ⁿ-1．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握．