Question

如果正四棱锥的对角线和侧面所形成的角为30°，底面边长为a，则它的体积是

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：作图如下，取AB的中点E，连结OE、SE，作OF⊥SE于点F，连结BF，可证明∠FBO=30°，从而可得OF=

2

4

a，从而可求得∠SEO=45°，则SO=OE=

a

2

，从而求得其体积．

解答： 解：作图如右图，
取AB的中点E，连结OE、SE，
作OF⊥SE于点F，连结BF，
∵SO⊥AB，OE⊥AB，
∴AB⊥平面SOE，
又∵OF?平面SOE，
∴AB⊥OF，
又∵OF⊥SE，
∴OF⊥平面SAB，
则∠FBO=30°，
∴OF=

1

2

OB=

1

2

×

2

2

a=

2

4

a，
在Rt△FOE中，又∵OE=

a

2

，
故∠SEO=45°，
故SO=OE=

a

2

，
故其体积为V=

1

3

×a²×

1

2

×a=

a3

6

．
故答案为：

a3

6

．

点评：本题考查了学生的作图能力及体积的求法，属于中档题．